证明：y^3=x^2+2只有（3，5）一组正整数解

本题是个很烦的题

y^3=x^2+2
y^3-x^2=2
所以x,y要么同为奇数,要么同为偶数,
如同为偶数,
设x=2m,y=2n
2(2n^2-m^2)=1
等式左边为偶数,右边奇数,不可能成立
所以,x,y只能同为奇数

所以,设x=2m+1, y=2n+1
代入: y^3=x^2+2,得:
(2n+1)^3=(2m+1)^2+2
(2n+1)^3-27=(2m+1)^2-25
(n-1)(4n^2+10n+13)=2(m-2)(m+3)
因4n^2+10n+13为奇数,所以:n-1必为偶数
设n-1=2k,则n=2k+1 (k>=0)
代入上式,
k(16k^2+36k+27)=(m-2)(m+3)
显然,左边>=0,所以:m-2>=0,设m-2=p (p>=0)
代入上式,得:
k(16k^2+36k+27)=p(p+5)
显然,k=0,p=0能使上式成立,得:x=5,y=3
而当k=1,
16+36+27=p(p+5),p没有整数解
而当p=1,
k(16k^2+36k+27)>=16+36+27>5=p(p+5),k无解

现在剩下的情况只有k>1,p>1
在此条件下,容易证明,p和p+5要么互质(p不等于5q),要么p=5q (q>=1)

y^3=x^2+2
y^3-x^2=2
所以x,y要么同为奇数,要么同为偶数,
如同为偶数,
设x=2m,y=2n
2(2n^2-m^2)=1
等式左边为偶数,右边奇数,不可能成立
所以,x,y只能同为奇数
所以,设x=2m+1, y=2n+1
代入: y^3=x^2+2,得:
(2n+1)^3=(2m+1)^2+2
(2n+1)^3-27=(2m+1)^2-25
(n-1)(4n^2+10n+13)=2(m-2)(m+3)